FRACTALES - "Matemática de Belleza Infinita" => INTRODUCCIÓN al Concepto Fractal

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO FRACTAL (1)

De seguro que usted no conoce los fractales. Mi labor, pues, será mostrarle la genialidad de tales cuerpos "especialmente"geométricos. Y vaya que sí lo son. No así, a los matemáticos de hoy en día y a la gente común como podría serlo usted o yo, le llama la atención la peculiar belleza de entes matemáticos de este estilo.

Pero bueno... ¿qué cuernos es un fractal? En pocas palabras, belleza... Claro, le entiendo. Esta definición deja mucho que desear, especialmente si usted es algún profesional o simplemente una persona exigente que gusta de buenas definiciones. Entonces, considerando cualquiera de estos dos casos, definiremos un cuerpo fractal como un ente geométrico "distinto". En realidad, como un ente geométrico "infinito". (y si es usted más exigente aún, la definición correcta es: "un cuerpo fractal es aquel que tiene la Dimensión Topológica estrictamente menor que su Dimensión de Haussdorf-Besucovic").

Existen dos características propias a los fractales. Ellas son importantes para comprender su estructura y su concepción. Primero, su Área o Superficie es finita, es decir, tiene límites. Por el contrario y por paradíjico que esto resulte, su Perímetro o Longitud es infinita, es decir, no tiene límites. Un fractal puede ser una serie de circunferencias que se coloquen una sobre el radio de la otra como si fuera su diámetro y así infinitamente. El area sería siempre semejante o aproximada a la de la circunferencia mayor, pero su longitud (considerandolas no como figuras independientes, sino como todas una sola), sería infinita... bueno... creo que esto no es muy claro, cierto? Entonces vea usted su primer fractal:

Este es el CONJUNTO DE MANDELBROT. Su nombre deriva de su descubridor y el además considerado padre de la Geometría Fractal, el matemático polaco BENOIT MANDELBROT. Pero no todos los méritos en el descubrimiento de los Fractales le son debidos a él, sino que también a otro gran matemático, como fue el radicado frances GASTON MAURICE JULIA. Estos dos matemáticos han sido los que más han aportado en el mundo de las investigaciones sobre fractales. Sus historias son muy peculiares y, en cierto modo, ninguno de ellos quizo descubrir los fractales... digamoslo en forma retórica que... los fractales son una hermosa casualidad.

Ahora bien. Introduscamos un nuevo concepto que no ha de serle ajeno al estudiante de fractales: ITERACIÓN. Una iteración es la repetición de "algo" una cantidad "infinita" de veces. Entonces, los fractales se generan a través de iteraciones de un patrón geométrico establecido como fijo. El mejor y más claro ejemplo que usted puede observar de este tipo de concepto es el siguiente:

En la imagen, la figura representada es conocida como el Copo de Nieve de Koch o la Isla Triáda de Koch y se forma a partir de un triángulo equilátero al cual se dividen sus lados en tres partes iguales, de forma tal que en los tercios medios se coloca otro triángulo semejante al primero. Esta iteración, en un alto grado de complejidad, se asemejará a una circunferencia, ya que los triángulos se irán colocando infinitamente. Esto reafirma el concepto de Area finita y Perímetro infinito. Claro está que los fractales son también números (en efecto, la iteración de un número Complejo simple, por lo que pueden traducirse en operaciones matemáticas).

Complejidad Infinita???

La generación propiamente tal de un fractal se puede hacer de muchas maneras, pero matemáticamente, se define como la repetición constante de un cálculo simple (ITERACIÓN), como habíamos dicho anteriormente.

El Conjunto de Mandelbrot es mucho más complejo que la imagen vista anteriormente. Pero su generación es lo interesante. El Conjunto de Mandelbrot se forma mediante un NUMERO COMPLEJO (a+bi, A y B nros. Reales; i=unidad imaginaria) que se dice "especial". Entonces, tenemos el número complejo Z = a+bi, al cual se lo somete a una "prueba matemática". Para ello tomamos el número Z y lo elevamos al cuadrado, sumándoselo después al mismo Z. Luego, elevamos ese resultado y lo elevamos nuevamente al cuadrado, sumándoselo a Z y así infinitamente (iteración). Representemos esto:

El esquema anterior nos muestra el caso mencionado. Se toma un número complejo y se le somete a un proceso matemático "simple", tal como es elevarlo al cuadrádo y sumarlo consigo mismo. Este proceso, iterado, transforma ese número complejo "simple" en uno infinitamente intrincado. Aún así, si usted no comprende estos cálculos, no se preocupe, ya que por su complejidad el Conjunto de Mandelbrot, por ejemplo, ha sido generado a través de computadoras, en este caso de la IBM.

Fractales, Computación y Aplicaciones

Los fractales, como ya sabemos, son números Complejos infinitamente extensos (por no decir complejos, aunque suene extraño). Entonces... ¿cómo se explica la generación de imágenes tan hermosas como el Conjunto de Mandelbrot? ¿Usted qué cree? (la respuesta se ha dado ya en el término del párrafo anterior).

Las imágenes fractales son generadas utilizando computadores, ya que estos pueden realizar cálculos tan complejos como el estudiado, pero cabe tener en cuenta que lo representado no es propiamente un fractal, ya que por poderosa que sea la máquina, un fractal es infinito y una computadora no puede realizar un cálculo infinitas veces. En el caso del Conjunto de Mandelbrot, este se realiza en un plano bidimensional de números Complejos. Todos los números que al ser iterados se mantienen "realtivamente pequeños" se dice que pertenecen al Conjunto de Mandelbrot. Estos números son representados por la computadora con color negro. Los demás puntos, es decir, los que no pertenecen al Conjunto de Mandelbrot, se representan dependiendo de su rapidez de iteración, esto es, el menos rápido se representa con amarillo, anaranjado, etc., y el más rápido, en colores celeste, azul, azul oscuro y así. En este caso, el mejor de los colores es el negro.

En el caso de las aplicaciones de los fractales, se cuenta, dentro del campo computacional, el proceso de TRANSFORMACIÓN FRACTAL, el que se realiza con imágenes que contienen muchos pixels. Cada uno de estos se va "agrandando", por así decirlo, "infinitamente", sin dejar de ser el mismo (en el sentido de patrón geométrico, ya que un pixel es de forma cuadrada), lo que permite que, en terminos de memoria, el espacio ocupado sea menor. Además, como podrá ver más adelante, se utilizan para generar efectos en programación y otras cosas tan inusuales (no sé si este sea el concepto adecuado) como la Música Fractal.

Otra aplicación se da en el campo de la Geología y Topología. Considerando un litoral cualquiera, con todas sus estrivaciones, se dice que tiende a una longitud infinita, siendo su area finita (características propias de un fractal). Además, Mandelbrot propuso que galaxias y otros cuerpos semejantes se regían por el mismo concepto.

El genial Mandelbrot, en su libro "La Geometría Fractal de la Naturaleza", señala parafraseando:"¿Por qué a menudo se describe la geometría como algo frío y árido? Sí, es incapaz de describir la forma de una nube, una montaña, una costa o árbol, porque ni las nubes son esféricas ni las montañas cónicas o un árbol cilíndrico". Es pues, un hombre sabio, ya que adelante nos muestra como la matemática es parte de nuestras vidas, sino una misma de ellas. La geometría fractal permite explicar diversos fenómemos naturales y su buen entendimiento y comprención son factores que hoy en día se aprecian mucho en el hombre finisecular.

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