Università
di Cultura Europea Una Università nata a Messina durante la prima “Conferenza Europea”, nel 1995 Ente culturale della FEDERATION INTERNATIONALE DES
DROITS DE L’ HOMME Ente
ricercatore del C.N.R., inscritta nello Schedario dell’ Anagrafe
Nazionale delle Ricerche con codice n°21790YA9,
del Prof. Ing. Oreste Palamara 25/10/97 22.46.58
LA MATEMATICA NON E' UN' OPINIONE Due affermazioni categoriche sembrano indubitabili: "Ciò è vero come è vero che due più due fa quattro !" "La Matematica non è un' opinione !" Noi affermiamo, con altrettanta certezza che due più due può fare anche due e che la Matematica è una opinione . Verifichiamo questi calcoli e commentiamone i risultati; a = b a2= a.b a2 - b2 = a.b - b2 (a+b) . (a-b) = b . (a-b) a+b = b concludendo: se a = 2 sarà anche b = 2, per cui, sostituendo: 2 + 2 = 2 come volevasi dimostrare. Questo calcolo è noto come "paradosso di Benjamin Frankeljn". Il risultato a sorpresa dipende da un errore di calcolo. Infatti noi sappiamo che ad entrambi i membri di una equazione si può aggiungere o togliere una quantità uguale, senza alterare il risultato. Così pure non si altera il risultato se entrambi i membri si moltiplicano o dividono per uno stesso numero ............ escluso zero. Questa esclusione viene quasi sempre ignorata. Eppure è fondamentale. Nel nostro esempio (a-b) = 0, per cui avremmo: (a+b) . 0 = b . 0, ed infine: 0 = 0 (1) e non a+b = b. Oppure (a+b) . (a-b) = b . (a-b) (a+b) . (a-b)/ (a-b) = b . (a-b)/ (a-b) 00=00 (2) (Abbiamo scelto il simbolo 00 per indicare : infinito) Questi risultati (1) e (2) soddisfano tutti. Noi no! Poi vedremo perchè. Intanto abbiamo messo in dubbio la prima certezza. La seconda certezza viene messa in dubbio dall' affermazione: "la Matematica è l' opinione di Dedekind." Essa, infatti, si basa sul postulato della continuità di Dedekind, dove da una parte esiste lo zero e dall' altra l' infinito, e dove l' uno è l' inverso dell' altro. Queste ormai assolute certezze ci inducono spesso a strane conclusioni. Abbiamo visto intanto il paradosso do Frankeljn. Vediamo ora cosa pensa Zenone di Elea. LE APORIE DI ZENONE Suppone Zenone che il Piè Veloce Achille sfidi la tartaruga alla corsa, dandole un distacco di vantaggio: es. 100 metri. Supponiamo che Achille corra a velocità 10 volte maggiore della velocità della tartaruga. Quando Achille avrà percorso i 100 metri, la tartaruga sarà 10 metri più avanti. Quando Achille avrà percorso i 10 metri, la tartaruga sarà 1 metro più avanti. Quando Achille avrà percorso 1 metro, la tartaruga sarà 10 centimetri più avanti. Ogni volta che Achille raggiunge la posizione occupata prima dalla tartaruga, la tartaruga sarà un decimo di tale percorso più avanti. E così, via via, all'infinito: Achille non potrà mai superare la tartaruga, anzi non potrà neppure raggiungerla ! Altre aporìe di Zenone dimostrano, con logica ferrea, che il podista non può raggiungere il traguardo e che la freccia raggiunge il bersaglio senza muoversi. Queste affermazioni disturbavano i Pitagorici. Ma i matematici di Dedekind dicono che sono sciocchezze in quanto sottointendono che la somma di infiniti infinitesimi sia una quantità infinita; mentre, invece, è una quantità finita. E ciò lo dimostrano suddividendo gli infinitesimi in: infinitesimi del primo ordine che sommano e infinitesimi del secondo ordine che scartano perchè trascurabili. La somma degli infiniti infinitesi del primo ordine dà, così, una quantità finita. Quando il mio professore di Calcolo infinitesimale dimostrò questo in aula, io lo pregai di lasciarmi controllare il suo cestino. Finsi allora di ripescare gli infinitesimi del secondo ordine scartati, poi, applicando la sua stessa teoria, li sommai ottenendo una quantità finita del secondo ordine, che recuperai; poi sommai quelli del terzo ordine, e così via, dimostrando il contrario di ciò che lui aveva appena dimostrato: cioè che la somma di infiniti infinitesi è una quatità finita. Mi mandò al posto dicendo: "Razionalista, lasciaci lavorare !". Me ne andai al posto convinto, più che altro, di essere solo un sofista. La stessa frase mi ripetè affettuosamente quando risolse "con artifici di calcolo" alcuni passaggi al limite che presentavano casi di indeterminazione (per la presenza dello zero o dell' infinito), mentre io cercai di dimostrargli come gli artifici non erano necessari, se si diversificavano gli zeri e gli infiniti. GLI ZERI NON SONO TUTTI UGUALI Se mi hanno borseggiato di un miliardo, cammino per le strade piangendo perchè in tasca ora ho zero lire. Se incontro uno che piange perchè è stato borseggiato di mille lire ed è rimasto con zero lire, non consento a nessuno di affermare che il nostro dolore debba essere uguale perchè la nostra condizione finale (zero lire) è uguale. I nostri zeri non possono essere uguali. Così come non possono essere uguali i due zeri dell' equazione (1) o i due infiniti dell' equazione (2). Le nostre ipotesi sono le seguenti:
L' INFINITO DEGLI OTTENTOTTI Suppongo che oggi gli Ottentotti siano molto evoluti, ma un tempo sapevano contare solo fino a tre. Oltre tre per loro c'era solo "molto". "Quanti figli hai ?" - "Due e tu ?" - "Io molti" (cioè più di tre) "Quante noci hai nel sacco ?" - "Io molte, e tu ?" - "Molte anch'io" Atteso che, chiaramente il "molto" degli Ottentotti equivale al nostro "infinito", possiamo dire che i due Ottentotti hanno ciascuno infinite noci nel sacco. Ma non possiamo dire che hanno lo stesso numero di noci. Infinite per quanto, i due infiniti non saranno uguali. E lo sanno anche gli Ottentotti. Se vogliono verificarlo, poichè sanno contare solo fino a tre, prendono tre noci da un sacco e tre noci dall' altro sacco. Quando le noci di un sacco finiranno significherà che le "infinite" noci di questo sacco erano meno delle "infinite" noci dell' altro sacco. I due "molti", ovvero i due "infiniti" non erano uguali. Se ciò è facile per gli Ottentotti, non è altrettanto facile per noi, perchè sapendo contare noi molto più in là, il nostro infinito sarà molto oltre il tre degli Ottentotti. La nostra vita non sarebbe sufficiente per confrontare due infiniti. Ma possiamo morire convinti che gli infiniti non sono generalmente uguali: in genere sono diversi, ma potranno esserci due infiniti uguali, due infiniti di cui l' uno doppio dell' altro e due infiniti di cui uno triplo dell' altro. In questi ultimi casi particolari si avrà: 00 /00 = 1 ; 00 /00 = 2 ; 00 /00 = 3 Se facciamo riferimento ai triangoli rettangoli con lati misurati con numeri pitagorici, es: 3cm, 4cm, 5cm oppure 6m, 8m, 10m, sappiamo che, per il famoso postulato della continuità di Dedekind, ciascun lato avrà un numero infinito di punti, ma possiamo essere certi, per quanto detto sopra, che i tre infiniti staranno tra di loro come tre sta a quattro sta a cinque: ciò contro la matematica tradizionale, che qui si arrende. INCOMPATIBILITA' TRA ZERO ED INFINITO Se un Ottentotto, da un sacco contenente molte noci, toglie molte noci, gli rimangono ancora molte noci. Cioè: 00 - 00 = 00 e non: 00 - 00 = 0 Se, però, da un sacco contenente molte noci, toglie tutte le noci, gli rimangono zero noci. Gli Ottentotti possono non sapere quanto sono "molte", ma sanno quanto sono "tutte". Esiste una differenza tra "molte" e "tutte", come esiste una differenza tra "Infinito" e "Tutto". Infinito meno infinito non dà zero, ma tutto meno tutto si: @ - @ = 0 Abbiamo scelto il simbolo @ per indicare il "Tutto". Ora possiamo affermare: errata corrige
1 / 0 = 00 1 / 0 = @ 00 - 00 = 00 @ - @ = 0 00 / 00 = 00 (3) @ / @ == 1 LA DIVERSIFICAZIONE DEGLI INFINITI Insegnare a contare agli Ottentotti significa insegnar loro a distinguere un "molto" da un altro "molto" e poi fare le operazioni tra i "molti". Analogamente noi dobbiamo imparare a distinguere un infinito da un altro infinito e poi fare le operazioni tra essi. Un accorgimento dei matematici tradizionali è stato quello di sostituire, nei calcoli da noi citati, la parola "infinito" con "indeterminato". Ciò scopre il lato debole ma lascia anche intravedere una possibilità: determinare ciò che è indeterminato. Cioè diversificare gli infiniti ed operare fra essi. L' equazione (3) si legge: indeterminato fratto indeterminato uguale indeterminato. Se però determiniamo il primo ed il secondo indeterminato, il risultato può essere un numero ben determinato. Esempio: il numero indeterminato di punti di un segmento di 4 centimetri diviso il numero indeterminato di punti di un segmento di due centimetri, secondo noi dà 2 e non indeterminato. Questa nostra apparentemente banale affermazione è smentita dalla geometria euclidea, che sempre dal postulato di Dedekind prende le mosse. Essa mette in corrispondenza biunivoca i punti del segmento di 2 centimetri con quelli del segmento da 4 centimetri, come in figura, che risultano così in numero uguale, ed esclude che possano restare altri punti fuori della corrispondenza perchè, per il postulato della continuità, tra una parallela e l' altra ci sarebbe sempre una parallela che mette in corrispondenza questi punti tralasciati su un segmento con altri punti dell' altro segmento.
non ci convince affatto. Comunque presuppone che i punti abbiano dimensione zero, così come le dimensioni trasversali delle rette utilizzate per la corrispondenza biunivoca.
Ma se i punti sono, come si è supposto finora, di dimensioni infinitesime, e le dimensioni trasversali delle rette anche, la corrispondenza avviene da un punto a 2, facendo corrispondere ad un "infinito" un "infinito doppio" COME DIVERSIFICARE GLI ZERI E GLI INFINITI Bisognerà studiare un sistema pratico. Per il momento ne indichiamo uno da perfezionare 4 x 0 = 04. 4 - 4 = 0 4- 0 : 4 = 0 :4 0 / 4 = 00 :4 4 x 00 = 00 4. 4 / 00 = 00 4: Questo simbolismo dà luogo a questi calcoli che danno un risultato anche nei casi di indeterminazione 8x 0 / 4 x 0 = 0 8. / 0 4. = 2 Il calcolo tradizionale avrebbe dato questo risultato: 8x 0 / 4 x 0 = 0 / 0 = 00 (indeterminato) Altro esempio: 8x 00 / 4 x 00 = 00 8. / 004. = 2 Il calcolo tradizionale avrebbe dato questo risultato: 8x 00/ 4 x 00 = 00 / 00 = 00 (indeterminato) e così via. Questa teoria ci consente di trovare direttamente i limiti di una funzione anche nei casi di indeterminazione, come detto prima. Esempio: lim 8x / 4x per x tendente a zero = 8 . 0 / 4 . 0 = 0 8. / 0 4. = 2 tendente a zero = 8 . 0 / 4 . 0 = 0 8. / 0 4. = 2 |
||||
|
|
Per informazioni: Oreste Palamara