Versione Italiana
A cura del gruppo N del corso di Elaborazione Numerica dei Segnali per Ingegneria delle Telecomunicazioni (Prof. G. Iacovitti)-Università degli Studi di Roma "La Sapienza".
Gruppo N:
| PROFILO DEL PROBLEMA IMPLEMENTATIVO
E' già disponibile il programma in formato (.m) per la versione 4.0 di Matlab (della MathWorks) ed inoltre sarà disponibile una Function che realizza la stessa analisi da noi fatta, ma che permetta di studiare il comportamento dell'analisi spettrale mediante
il periodogramma per frequenze variabili a piacere dall'utilizzatore. Viene qui proposto un confronto tra i vari tipi di finestre note in letteratura tecnica per mettere in evidenza le prestazioni e la capacità risolutiva delle finestre.
Una cosa impostrante da sottolineare (sopratutto per chi utilizzerà la funzione) è che i grafici che il programma MatLab presenta sono da intendersi (così come esplicitato dalla scalatura dell'asse orizzontale della frequenza normalizzata) da 0 a 2. Ciò significa che se si aumenta la frequenza della sinusoide più interna i due Dirac, corrispondenti a questa sinusoide, in frequenza tenderanno ad avvicinarsi. |
PROFILO DEL PROBLEMA DI ANALISI
Questa analisi svolta dal gruppo di lavoro N serve per mettere in evidenza un problema che si presenta in radiotecnica ed in altre importanti applicazioni: immaginiamo di dover discernere due sinusoidi con frequenza vicina in presenza di un rumore gaussiano di varianza unitaria e valore atteso nullo (trattandosi di un collegamento di tipo hertziano è nulla la componente continua del rumore ). Accade che se le due sinusoidi sono vicine ed hanno la stessa ampiezza c'é la possibilita' di distinguerle, mentre incrementando l'ampiezza di una delle due sinusoidi quella con una amplificazione minore tende a sparire sotto l'altra. Allora si vede che utilizzando un tipo di finestratura ad esempio di Bartlett le cose vanno già meglio (c'é anche da considerare in corrispondenza di quali lobi le portanti vanno a finire). Noi abbiamo campionato a 256 Hz e realizzato la FFT su 256 punti ed il periodogramma su finestre di 256 punti. |
Prima Parte: Periodogramma di due sinusoidi di pari ampiezza con presenza di rumore gaussiano
Seconda Parte : Periodogramma con due sinusoidi di ampiezza diversa con presenza di rumore gaussiano
PREMESSA
Questo tipo di problema è molto più frequente di quanto non si pensi. Un approccio simile viene presentato nel caso della radiotecnica. Del resto distinguere due portanti sinusoidali molto vicine in presenza di un rumore non trascurabile è anche il problema che si ha in campo radioamatoriale dove si presentano due diverse questioni da risolvere: quella primaria della presenza di rumore e quella, non di minore importanza, della capacità di risoluzione e riconoscimento delle due sinusoidi alla luce della questione delle spurie che non devono superare determinati valori di ampiezza.
Così si richiede che vengano adottati principalmente degli strumenti di stima che siano in grado di illustrare, anche a livello visivo, quali siano i problemi da affrontare dipendentemente dalla situazione che si è manifestata.
Per l'analisi spettrale di una qualsivoglia sequenza utilizziamo il periodogramma dopo aver finestrato la suddetta sequenza; per finestrarla usiamo alcune finestre standard :
Consideriamo due sinusoidi di pulsazioni poco diverse con l'aggiunta di rumore gaussiano a varianza unitaria e valore atteso nullo.
Osserviamo innanzitutto che mentre il periodogramma del rumore risulta essere uno stimatore polarizzato e non consistente con la conseguente non ottimalità della stima, abbiamo invece che per quanto riguarda le componenti armoniche questo tipo di stima spettrale risulta ottima ed efficiente.
STIMA SPETTRALE MEDIANTE IL PERIODOGRAMMA
Le due sinusoidi da noi prese in considerazione hanno frequenze rispettivamente di 60 Hz e 65 Hz con un operazione di campionamento rispondente alle specifiche del teorema di Nyquist nel nostro caso (F_camp.=256 Hz).
Consideriamo ora il periodogramma:
dove con U indichiamo una costante di normalizzazione del periodogramma dipendente dalla finestra scelta e data dalla relazione:
A questo punto finestriamo il periodogramma delle due sinusoidi con rumore; i grafici n. 2-8 mostrano chiaramente che utilizzando finestre diverse da quella rettangolare le due sinusoidi sono piu' facilmente distinguibili.
Successivamente prendiamo le stesse due sinusoidi rendendone pero' diverse le ampiezze. A priori possiamo immaginare che in questa situazione potremmo avere dei problemi per distinguere i segnali; sappiamo infatti che se la differenza di ampiezza e' elevata, i lobi secondari della sinusoide con ampiezza maggiore possono sovrapporsi al picco dell'altra sinusoide rendendola irriconoscibile. Si capisce che e' preferibile utilizzare in questo caso finestre che riducano l'ampiezza dei lobi secondari, quindi in particolare finestre diverse da quella rettangolare.
Per un fattore di amplificazione pari a 3 le sinusoidi sono ancora distinguibili. Per un fattore di mplificazione pari a 10 vediamo che la sinusoide piu' piccola tende a "scomparire" sotto quella maggiore.
Utilizzando altre finestre (come mostrato nei grafici) ci rendiamo conto che riusciamo a distinguere le due sinusoidi, vista la riduzione degli effetti dei lobi secondari.
CALCOLO DELLA VARIANZA
Vogliamo occuparci ora di misurare la varianza dello spettro di densita' di potenza del rumore gaussiano.
Per fare cio' utilizziamo il concetto di ergodicita' di tale processo: infatti consideriamo un certo numero di realizzazioni del rumore ( nel nostro caso 200 ) e ne calcoliamo lo SDP; calcoliamo poi la varianza in due modi:
Notiamo che la stima effettuata nel secondo modo e' migliore di quella trovata nel primo modo. Infatti aumentando il numero di realizzazioni da 200 a 300, e quindi migliorando le stime, la 1) subisce una variazione del 15% mentre la 2) solo dell' 1.6%. Contemporaneamente l'errore della 1) rispetto alla 2) scende dal 12% al 9% a testimoniare che per n che tende ad infinito le due stime coincidono.
Nella nostra analisi abbiamo preso in considerazione, per motivi di praticita', degli SDP ottenuti da segnali di tipo rumore gaussiano trascurando le sinusoidi: in realta' l'analisi resta valida anche nel caso in cui le due sinusoidi siano presenti, a patto di scegliere due valori w1 e w2 distanti dalle frequenza delle due sinusoidi.
MEDIA DEI PERIODOGRAMMI
E' utile sottolineare con un esempio le esigenze spesso contrastanti di una buona risoluzione e di uno spettro con varianza quanto possibile limitata; prendiamo in considerazione a questo scopo ancora il segnale formato dalle sinusoide e dal rumore gaussiano, analizzandolo con il metodo della media dei periodogrammi.
Effettuiamo una prima analisi con un periodogramma dell'intera sequenza di 2048 elementi usando la DFT sullo stesso numero di punti: otteniamo una risoluzione ottima (teoricamente 1 Hertz), ma con una forte varianza dei campioni nei punti in cui e' presente solo rumore (oscillano tra valori prossimi a 0 e superiori a 7).
Allo scopo di ridurre tale varianza effettuiamo nuovamente il calcolo suddividendo la sequenza dei campioni in quattro sottosequenze di 512 campioni, su ciascuna delle quali calcoliamo separatamente il periodogramma; facciamo poi la media dei quattro spettri cosi' ottenuti, ed otteniamo un nuovo spettro che rispetto al primo ha una peggiore risoluzione, ma una varianza minore nei punti nei quali c'e' solo rumore.
Ripetendo ancora l'analisi ma con 16 periodogrammi su altrettante sottosequenze di 128 campioni, la varianza e' molto ridotta (tanto che i valori sono compresi nell'intervallo 0.4/1.8)ma la risoluzione e' notevolmente peggiorata a tal punto di non permettere di distinguere gli impulsi delle due sinusoidi.
Il file pergrami.m è ora a vostra disposizione.
Per vedere la versione inglese di questa pagina cliccate qui
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