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ò ƒ(x)
dx
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- the indefinite integral of ƒ with respect to x, |
C
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- the constant of integration, |
ƒ
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- the integrand, |
ò
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- the integral sign, |
F
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- an anti-derivative of ƒ. |
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- the definite integral of ƒ with respect to x on [a, b], | |||
a
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- the lower limit, | |||
b
|
- the upper limit. |
1. |
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= ƒ(x) | |||
2. |
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= ƒ(x) + C | |||
3. |
ò
dx = ò 1
dx
|
= x + C | |||
4. |
ò
kƒ(x) dx
|
= kò ƒ(x) dx where k is a constant | |||
5. | ò [ƒ(x) ± g(x)]dx | = ò ƒ(x) dx ± ò g(x) dx |
1. |
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= 0 | ||||||||||
2. |
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||||||||||
3. |
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1. | For n ¹ 1, | ||||||||||
(a)
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ò
xn dx
|
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|||||||||
(b)
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ò
(ax + b)n dx
|
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|||||||||
(c)
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ò
ƒ'(x)[ƒ(x)]n dx
|
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2. (a) |
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= ln |x| + C | ||||||
(b)
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|
||||||
(c)
|
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= ln |ƒ(x)| + C |
3. (a) (i)
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ò
cos x dx
|
= sin x + C | |||
(ii)
|
ò
sin x dx
|
= - cos x + C | |||
(iii)
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ò
sec2 x dx
|
= tan x + C | |||
(iv)
|
ò
cosec2 x dx
|
= - cot x + C | |||
(v)
|
ò
sec x tan x dx
|
= sec x + C | |||
(vi)
|
ò
cosec x cot x dx
|
= - cot x + C | |||
|
ò
cos (ax + b) dx
|
|
|||
|
|||||
|
ò
ƒ'(x) cos ƒ(x) dx
|
= sin ƒ(x) + C | |||
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4. (a) |
ò
ex dx
|
= ex + C | |||
(b)
|
ò
eax + b dx
|
|
|||
(c)
|
ò
ƒ'(x) eƒ(x) dx
|
= eƒ(x) + C |
5. (a) (i) |
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= sin -1 x + C | |||||||||||
(ii) |
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|||||||||||
(iii) |
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|
|||||||||||
(b) (i) |
|
= tan-1 x + C | |||||||||||
(ii) |
|
|
|||||||||||
(iii) |
|
|
|||||||||||
(c) (i) |
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|
for |x| < a | ||||||||||
(ii) |
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|
for |x| > a |
1. ò sin mx cos nx dx , ò sin mx sin nx dx or ò cos mx cos nx dx
sin P cos Q
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= | ½[sin (P + Q) + sin (P - Q)] |
cos P cos Q
|
= | ½[cos (P + Q) + cos (P - Q)] |
sin P sin Q
|
= | -½[cos (P + Q) - cos (P - Q)] |
2. ò sinn x dx or ò cosn x dx
cos2 x
|
= ½(1 + cos 2x) |
sin2 x
|
= ½(1 - cos 2x) |
(b) When n is odd
Eg. | sin3 x | = sin2 x sin x |
= (1 - cos2 x) sin x | ||
cos5 x | = cos4 x cos x | |
= (1 - sin2 x)2 cos x | ||
= (1 - 2 sin2 x + sin4 x) cos x |
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|||
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u = ax + b | |||
|
x = a sin q | |||
|
x = a tan q | |||
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s = sin x | |||
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c = cos x | |||
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t = tan (x/2) |
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