Otra de las expresiones utilizadas en matemáticas es el valor absoluto de un número real, que se definirá en la utilización de desigualdades.

El valor absoluto de un número es un número positivo o es cero. El valor absoluto de un número puede representar su distancia desde cero sin importar la dirección y | a - b | es la distancia entre a y b también sin importar la dirección.

T E O R E M A 1

Si x es un número real y a > 0

| x | < a entonces -a < x < a

Como no sabemos si x es positiva o negativa debemos considerar x < 0 y x > 0

El teorema lo podemos indicar de la siguiente forma:

| x | < a entonces x < a y x > -a

| x | > a entonces x > a y x < -a

El valor absoluto se define como:

| x | = x si x > 0, x si -x < 0, 0 si x = 0

El teorema 2

a).- | x | "menor o igual que" a entonces -a < o igual x < o igual que a

b).- | x | "mayor o igual que" entonces x > o igual que a ó x < o igual que -a

NOTA: Cuando el valor absoluto sea negativo no será posible solucionar la ecuación.

EJEMPLOS:

a).- | x | = 7

Por definición de valor absoluto, tenemos:

que x = 7 ó x = -7

b).- | 2x + 8 | = 5

2x + 8 = 5

2x = 5 - 8

x = -3/2

ó 2x + 8 = -5

2x = -8 -5

x = -13/2

c).- | x | < 3 por teorema tenemos:

-3 < x < 3 que representa la intersección de x < 3 y

x > -3

La solución es el intervalo: ( -3, 3 )

Nota: Al utilizar el teorema de desigualdades con valores absolutos podemos considerar a las variables como una expresión agebraíca.

| x + 6 | < 1

| 2x - 3|

De acuerdo al teorema tenemos que:

-1 < x + 6 / 2x - 3 y x + 6 / 2x - 3 < 1

Si 2x - 3 > 0, x > 3/2

-1 < x + 6 / 2x - 3

-1( 2x - 3 )< x + 6

-2x-x< 6-3

x > -1

CASO 2

Si 2x - 3 < 0, x < 3/2