L'esercizio consiste nel confrontare la termocoppia rame-constantana con il termometro già tarato (PT25) per far questo supponiamo che la tensione sia una funzione cubica della temperatura e facciamone la regressione
REGRESSIONE POLINOMIALE :
Ci proponiamo di determinare i coefficienti della cubica :
erif = b1T + b2T2 + b3T3 (1)
Per cui la condizione dei minimi quadrati si scrive così :
Sk ( b1Tk + b2Tk2 + b3Tk3 - ek)2 = minimo
intendendosi la sommatoria estesa da 1 a n .
derivando il primo membro rispetto alle bk ed annullando le derivate si ha :
2 Sk ( b1Tk + b2Tk2 + b3Tk3 - ek) = 0
2 Sk ( b1Tk + b2Tk2 + b3Tk3 - ek )Tk = 0
2 Sk ( b1Tk + b2Tk2 + b3Tk3 - ek )Tk2= 0
ossia :
b1SkTk + b2SkTk2 + b3SkTk3= Skek
b1SkTk2 + b2SkTk3+ b3SkTk4 = SkTkek
b1SkTk3 + b2SkTk4 + b3SkTk5 = SkTk2ek
I valori delle temperature e delle corrispondenti tensioni del termometro PT25 si ricavano dal sito OMEGA :
Scrivendo il sistema in termini matriciali :
Percò, risolvendo il sistema, ho determinato i coefficienti b1, b2, b3, .
Dalla curva di taratura del PT25 ricavo i valori delle G = Trif di riferimento conoscendo la resistenza media del PT25 :
G = 251.2282.(R/Ro-1) + 8.89473.(R/Ro-1)2 + 0.984846.(R/Ro-1)3
Ottengo perciò :
G1 = 23.11163 °C
G2 = 44.673 °C
G3 = 76.6061 °C
G4 = 64.4464 °C
G5 = 59.70709 °C
G6 = 10.32804 °C
Ovvero :
Posso ora determinare le e rif = e dal polinomio :
Conosciute le tensioni di riferimento ricavo le temperature di riferimento ti facendo una nuova regressione sul polinomio invertito della (1) :
Trif =ti = a1erif + a2erif2 + a3erif3 = a1e + a2e2 + a3e3 (2)
Analogamente a prima giungo al sistema lineare di equazioni :
a1Siei + a2Siei2 + a3Siei3= SiGi
a1Siei2 + a2Siei3+ a3Siei4 = SieiGi
a1Siei3 + a2Siei4 +a3Siei5 = Siei2Gi
Dal file Tensioni.zip determino , per ogni temperatura , la ec = f che è la media dei valori dati ( quando l' andamento ha superato il transitorio ) :
dove ec = f
Nota erif ed ec determino la regressione che lega (erif -ec ) con ec :
(erif -ec) = c0 + c1ec +c2ec2
ovvero :
erif = c0 + ( c1 +1)ec +c2ec2 (3)
Questa volta abbiamo anche il termine noto :
5c0+c1Si(ec)i + c2Si(ec)i2= Si(erif -ec)i
c0Si(ec)i + c1Si(ec)i2 + c2Si(ec)i3= Si(erif -ec)i(ec)i
c0Si(ec)i2 + c1Si(ec)i3 + c2Si(ec)i4= Si(ec)i2 (erif -ec)i
Infine , sostituendo nella (3) le ai ottengo i valori della tensione del termometro tarato : e*rif = M
A questo punto considero la relazione (2) , che costituisce la curva di taratura :
T *rif = t = f(e*rif)
. Determiniamo ora l' incertezza sulla temperatura :
Dove
Hi = dGi/dei
perciò l' errore sulla temperatura è dato
dalla formula :
Perciò la media della stima dello scarto quadratico medio è :
°C
Vediamo ora , a titolo illustrativo, l' influenza dell' errore sulla curva di taratura del termometro
In cui ho chiamato con t1 e t2 la retta t traslata della stima dello scarto medio quadratico |S| = |ST|