L'esercizio consiste nel confrontare la termocoppia rame-constantana con il termometro già tarato (PT25) per far questo supponiamo che la tensione sia una funzione cubica della temperatura e facciamone la regressione

REGRESSIONE POLINOMIALE :

Ci proponiamo di determinare i coefficienti della cubica :

e_rif = b₁T + b₂T² + b₃T³ (1)

Per cui la condizione dei minimi quadrati si scrive così :

S_k ( b₁T_k + b₂T_k² + b₃T_k³ - e_k)² = minimo

intendendosi la sommatoria estesa da 1 a n .

derivando il primo membro rispetto alle bk ed annullando le derivate si ha :

2 S_k ( b₁T_k + b₂T_k² + b₃T_k³ - e_k) = 0

2 S_k ( b₁T_k + b₂T_k² + b₃Tk³ - e_k )T_k = 0

2 S_k ( b₁T_k + b₂T_k² + b₃T_k³ - e_k )T_k²= 0

ossia :

b₁S_kT_k + b₂S_kT_k² + b₃S_kT_k³= S_ke_k

b₁S_kT_k² + b₂S_kT_k³+ b₃S_kT_k⁴ = S_kT_ke_k

b₁S_kT_k³ + b₂S_kT_k⁴ + b₃S_kT_k⁵ = S_kT_k²e^k

I valori delle temperature e delle corrispondenti tensioni del termometro PT25 si ricavano dal sito OMEGA :

Scrivendo il sistema in termini matriciali : 

Percò, risolvendo il sistema, ho determinato i coefficienti b1, b2, b3, .

Dalla curva di taratura del PT25 ricavo i valori delle G = T_rif di riferimento conoscendo la resistenza media del PT25 :

G = 251.2282.(R/Ro-1) + 8.89473.(R/Ro-1)2 + 0.984846.(R/Ro-1)3

Ottengo perciò :

G₁ = 23.11163 °C

G₂ = 44.673 °C

G₃ = 76.6061 °C

G₄ = 64.4464 °C

G₅ = 59.70709 °C

G₆ = 10.32804 °C

Ovvero :

Posso ora determinare le e _rif = e dal polinomio :

Conosciute le tensioni di riferimento ricavo le temperature di riferimento ti facendo una nuova regressione sul polinomio invertito della (1) :

T_rif =t_i = a₁e_rif + a₂e_rif² + a₃e_rif³ = a₁e + a₂e² + a₃e³ (2)

Analogamente a prima giungo al sistema lineare di equazioni :

a₁S_ie_i + a₂S_ie_i² + a₃S_ie_i³= S_iG_i

a₁S_ie_i² + a₂S_ie_i³+ a₃S_ie_i⁴ = S_ie_iG_i

a₁S_ie_i³ + a₂S_ie_i⁴ +a₃S_ie_i⁵ = S_ie_i²G_i

Dal file Tensioni.zip determino , per ogni temperatura , la e_c = f che è la media dei valori dati ( quando l' andamento ha superato il transitorio ) :

dove e_c = f

Nota e_rif ed e_c determino la regressione che lega (e_rif -e_c ) con e_c :

(e_rif -e_c) = c₀ + c₁e_c +c₂e_c²

ovvero :

e_rif = c₀ + ( c₁ +1)e_c +c₂e_c² (3)

Questa volta abbiamo anche il termine noto :

5c₀+c₁S_i(e_c)_i + c₂S_i(e_c)_i²= S_i(e_rif -e_c)_i

c₀S_i(e_c)_i + c₁S_i(e_c)_i² + c₂S_i(e_c)_i³= S_i(e_rif -e_c)_i(e_c)_i

c₀S_i(e_c)_i² + c₁S_i(e_c)_i³ + c₂S_i(e_c)_i⁴= S_i(e_c)ⁱ² (e_rif -e_c)_i

Infine , sostituendo nella (3) le ai ottengo i valori della tensione del termometro tarato : e*rif = M

A questo punto considero la relazione (2) , che costituisce la curva di taratura :

T *rif = t = f(e*rif)

. Determiniamo ora l' incertezza sulla temperatura :

Dove

H_i = dG_i/de_i
perciò l' errore sulla temperatura è dato dalla formula :

Perciò la media della stima dello scarto quadratico medio è :

°C

Vediamo ora , a titolo illustrativo, l' influenza dell' errore sulla curva di taratura del termometro

In cui ho chiamato con t1 e t2 la retta t traslata della stima dello scarto medio quadratico |S| = |ST|

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