Modelos de decisión binaria

Supongamos que el individuo n enfrenta dos opciones: i y j. Sea U_in el valor que la opción i tiene para el individuo n y U_jn el valor que la opción j tiene para el individuo n. Descompongamos el valor de cada opción en dos componentes: uno sistemático (denotado por V_in para la opción i y V_jn para la opción j) y otro aleatorio(denotado por e _in para la opción i y e _jn para la opción j), es decir:

Definamos un vector de atributos x_in (la información del solicitante disponible para la institución crediticia, la información sobre el nuevo vehículo, las características individuales del posible trabajador). Los componentes sistemáticos de los valores de las alternativas para cada individuo pueden re-escribirse como una función del vector de atributos:

Por simplicidad, se suele asumir linearidad en los parámetros:

Por otro lado, la probabilidad de elegir la alternativa i por el individuo n estará dada por:

Imponiendo algún supuesto razonable a la distribución de la diferencia de los componentes aleatorios, podemos hallar una expresión (una fórmula explícita) que dependa de los vectores de atributos. Teniendo una expresión para P_n(i) que dependa solo de los vectores de atributos x_in y x_jn, se puede evaluar la probabilidad de que una alternativa sea elegida en base a sus atributos. Es decir, siguiendo los ejemplos anteriores, la institución crediticia dispone de un criterio estadístico para decidir si concede o nó un crédito, la empresa de transportes tiene una forma para decidir su compra, y el economista laboral puede modelar la decisión de participación del individuo n en el mercado laboral.

Bajo el supuesto de que e _in y e _jn están distribuidas normal con media 0 y varianzas s _i² y s _j² respectivamente, la diferencia e _in - e _jn estará distribuida normal con media 0 y varianza s ² = s _i² + s _j² - 2s _ij . Denótese F (.) la distribución normal cumulativa estandarizada. En este caso

Nótese que los parámetros b son identificados a una escala dada por s . Por convención se asume que s =1.

Bajo el supuesto de que la diferencia e _n = e _in - e _jn está distribuida logísticamente, es decir, con función de distribución

y con función de densidad

la probabilidad de elegir la alternativa i estará dada por:

P_n(i) = Pr(U_in > U_jn)

= 1/(1 + e^{-m (V}_in ^{- V}_jn⁾)

Bajo el supuesto de linearidad en los parámetros:

Dado que m no puede ser distinguido en la escala de b , se asume que m =1.

Bajo el supuesto de que la diferencia e _n = e _in - e _jn está distribuida en forma uniforme en el intervalo [ -M, M] , la probabilidad de que la alternativa i sea elegida estará dada por

P_n(i) = Pr(U_in > U_jn)

= Pr(V_in + e _in > V_jn + e _jn)

= Pr(e _jn - e _in < V_in - V_jn)

= Pr(e _n < V_in - V_jn)

= 0 si V_in - V_jn < -M

(V_in - V_jn + M)/(2M) si -M £ V_in - V_jn £ M

1 si V_in - V_jn > M

Asumiendo linearidad en los parámetros, la condición anterior se transforma en

0 si b ’(x_in - x_jn)< -M

P_n(i) =(b ’(x_in - x_jn)+ M)/(2M) si -M £ b ’(x_in - x_jn)£ M

1 si b ’(x_in - x_jn) > M

Como M determina la escala de U_in y U_jn, su elección es arbitraria. Por conveniencia se fija en M=1/2.